Kopecký je hokejovo začínal v Dukle Trenčín. V roku 2000 ho vybral v úvodnom drafte NHL Detroit Red Wings v 2. kole ako 38. v celkovom poradí. Nasledujúcu sezónu odišiel do zámoria. Hral najskôr v súťaži WHL a neskôr v AHL. Od sezóny 2002/03 hrá za farmársky tím Detroitu Grand Rapids Griffins v AHL. Na svoj prvý zápas v NHL nastúpil 27. februára 2006 v drese číslo 32. Detroit v ňom bez piatich švédskych zlatých olympijských medailistov prehral s San José Sharks 1:5. Premiérový gól strelil 18. októbra 2006 proti Anaheimu (1:4). V roku 2008 vyhral s Detroitom Stanley Cup. V lete 2009 podpísal ako voľný hráč zmluvu s Chicagom, s ktorým v roku 2010 vyhral svoj druhý Stanley Cup. V júni 2011 bol ako potenciálny voľný hráč vymenený do tímu Florida Panthers, s ktorým neskôr podpísal štvorročnú zmluvu.